[kruftun]

Точки А и В высекают на окружности с центром О дугу величиной 60(градусов). На этой дуге взята точка М. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков МА и ОВ, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков МВ и ОА.
(Здесь наверно нужно доказать, что четырёхугольник с диагоналями это ромб, а его диагонали перпендикулярны).

Надеюсь на вашу помощь.

Добавлено kruftun,
В равностороннем треугольнике АВС со стороной АВ=а проведена средняя линия MN, параллельная АС. Точка К делит отрезок MN в отношении MK:KN = 1:2. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Е. Найти длину отрезка АЕ.
(Здесь я не могу найти КЕ).

[Квазимодо]

kruftun,
Задача 1.
Пусть Р - середина отрезка (радиуса) OA, Q - середина отрезка OB, R - середина AM, S - середина BM. Тогда получаем следующее: угол AQO - прямой (поскольку треугольник OAB равносторонний, а AQ - его медиана, она же высота) и угол ARO прямой (треугольник AOM равнобедренный, а R - середина основания). Значит, четырехугольник AMQO вписан в окружность (с диаметром AO), т.е. OQR = 180 - OAR (извини за отсутствие обозначений углов и градусов, но, думаю, ты понял) = 180 - (90 - (AOM)/2) = 90 + (AOM)/2.
Аналогично, четырехугольник BSPO вписан в окружность, OPS = 180 - OBS = 180 - (90 - (BOM)/2) = 90 + (BOM)/2.
Теперь пусть X - точка пересечения отрезков PS и QR (т.е. диагоналей исходного четырехугольника PQSR; кстати, это не ромб). Тогда угол PXQ между ними находится из того, что сумма углов четырехугольника OPXQ равна 360 :

PXQ = 360 - POQ - OQX - OPX = 360 - POQ - OQR - OPS = 360 - 60 - (90 + (AOM)/2) - (90 + (BOM)/2) = 120 - (AOM)/2 - (BOM)/2 = 120 - (AOB)/2 (т.к. AOM + BOM = AOB) = 120 - 60/2 = 90,

что и требовалось доказать.

Задача 2.
NM - медиана треугольника ANB, а точка K делит ее в отношении 2:1 от вершины K. Значит, K - это точка пересечения медиан этого треугольника (не забыл, что медианы делятся в точке пересечения именно в отношении 2:1 от вершины?), т.е. AE - это тоже медиана, BE=EN=BN/2=a/4. Значит, AE^2 = AN^2 + NE^2 (треугольник ABC равносторонний, а значит, AN перпендикулярна BC) = (3/4)a^2 + (1/16) a^2 = (13/16)a^2, т.е. AE = a*sqrt(13)/4.

[Барэль]

kruftun, Давай ты не будешь хотя бы размножать свои изыскания в общеобразовательных предметах, а оставишь все это в одной теме. Хотя мне так и хочется показать тебе в правилах пункт 2.6

[kruftun]

Спасибо Квазимодо за решения, конечно, решение второй задачи какое-то ты запутанное привёл ну ничего разберусь. Огромное спасибо. Все задачи по геометрии будут в этой теме.

[Барэль]

kruftun, а чем запутаное? Очень простое решение...

[kruftun]

А что такое a*sqrt?

[Levon]

sqrt = square root - Квадратный корень .........

[kruftun]

ну теперь понятно.

[kruftun]

Доказать, что биссектрисы углов любого четырёхугольника образуют вписанный четырёхугольник. Надеюсь на вашу помощь.

[Квазимодо]

Пусть в четырехугольнике ABCD биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов C и D - в точке N. Тогда угол второго четырехугольника при вершине M равен 180 - (DAB)/2 - (CBA)/2, а угол при вершине N равен 180 - (BCD)/2 - (ADC)/2, т.е. это 2 противолежащих угла, и их сумма равна 360 - (DAB + CBA + BCD + ADC)/2 = 360 - 360/2 = 180. А это уже признак вписанного в окружность четырехугольника.
P.S. Все-таки это верно не для любого четырехугольника: биссектрисы квадрата/ромба - это его диагонали, а они четырехугольника не образуют. Так что условие задачи не совсем полное.

[kruftun]

Большое спасибо. Вот ещё одна задачка:
В трапеции АВСD даны основания AD=a и BC=b. На продолжении ВС выбрана точка М так, что прямая АМ отсекает от площади трапеции 1/4 её часть.Найти длину отрезка СМ.

[Квазимодо]

Пусть O - точка пересечения прямых AM и CD, S - площадь трапеции. Тогда площадь треугольника ADO равна S/4 (по условию), а площадь треугольника ADC равна S * a/(a+b ) (т.к. площадь трапеции равна h*(a+b )2, а треугольника ADC - h*a/2, где h - высота, опущенная из C на AD). Значит, CD/OD = 4a/(a+b ) (площадь ADC делим на площадь ADO, т.к. у них общий угол D и одна из сторон), т.е. CO/OD = 4a/(a+B ) - 1 = (3a-b )/(a+b ). Но треугольники AOD и MOC подобны (углы у них одинаковые), т.е. CM/AD = CO/OD и CM = a*(3a-b )/(a+b ).

Сообщение отредактировал Квазимодо - Среда, 30 Марта 2005, 15:06

[kruftun]

Квазимодо а ты случайно учителем геометрии не подрабатываешь или искать в инете хорошо умеешь? За решение к задаче отдельное спасибо.

[kuzz]

kruftun, имхо, уважаемый Квазимодо в школе хорошо учился. в отличие от некоторых...

[kruftun]

Я тоже в школе неплохо учусь.

[Барэль]

kruftun, при помощи Квазимодо - безусловно!

[kruftun]

Барэль это задачи не школьной программы, их 9-классник врятли решит. А в школе у меня за последние 3 четверти токо одна четвёрка по черчению, остальные пятёрки.

[Барэль]

kruftun, И чего? Для этих задач нужно простро проявить смекалку и применить те же самые полученные в школе знания. И всего делов. Нам в 8 классе давали домой задачки из сборника для поступающих во ВТУЗы под редакцией Сканави... Помню я по полночи сидел

[kruftun]

А вот большого количества времени у меня нет у меня 25 подобных задач помимо школы по трём предметам: русский, математика, физика. Так, что часть задач я возлагаб на здравомыслящих учатников форума.

[mpa]

хм...кажись учасников тупо используют для "разгрузки собственного времени"...
я сам практически всегда решал...потом помогало ))...
школа и институт - это же база, без нее никак )).

[kruftun]

Но на форум я отправляю лишь избранные задачи, которые предварительно решал часа 2 и решил лишь наполовину. Простите великодушно (mpa), но участники форума решают задачи написанные мной нечасто. Если участники протестуют мои просьбам решить пару задач,(конечно если они имеют время), то могу больше не писать сюда. И ещё со школьной программой я справляюся, но считаю, что в школе даётся немного. Я сам 2 раза у репетиторов занимаюсь физикой, математикой. Я понимаю хорошо, что задачи желательно самому решать, но всё же...

[Ekho]

Сейчас я кое-каких участников отправлю в Поговорим.

Намек понят?

[kruftun]

Вот к понедельнику надо решить две задачи по геометрии(алгебра векторов, т.чевы запрещены).
1)Пусть ABCD -четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит трапеция ABCD (BC||AD), причём |AD|=2|BC|. Точки K,L лежат на рёбрах SA, AB соответственно, причём |SK|=2|KA|, |AL|=3|LB|. На прямой (KL) выбрана точка Х , а на прямой (АС)-точка У так, что (XY)||(SD). Найти |LX|:|XK|.

Добавлено kruftun,
Вот к понедельнику надо решить две задачи по геометрии(алгебра векторов, т.чевы запрещены).
1)Пусть ABCD -четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит трапеция ABCD (BC||AD), причём |AD|=2|BC|. Точки K,L лежат на рёбрах SA, AB соответственно, причём |SK|=2|KA|, |AL|=3|LB|. На прямой (KL) выбрана точка Х , а на прямой (АС)-точка У так, что (XY)||(SD). Найти |LX|:|XK|.

Сообщение отредактировал kruftun - Суббота, 27 Мая 2006, 17:28

[kruftun]

простите опера мини глючит

[kruftun]

поправка к 1) пирамида SABCD.
2) Корабли А, В и С двигаются по прямолинейным курсам с постоянной скоростью. В некоторые моменты времени t1, t2, t3 было замечено, что корабли находятся на одной прямой. Докажите, что в любой момент времени через А, В, С можно провести одну прямую.
p.s. В 1-ой задаче, наверное, надо использовать базис и ур-е типа OC=(1-?)OA + ?AB, в векторной форме.

[Tauren_war]

Очень надо решить задачку одну. Вся надежда на Квазимодо.

Вписанные окружности граней SBC, SAC, SAB треугольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы sqrt(6), sqrt(11), sqrt(14) соответственно. Точка К является точкой касания окружностей со стороной SA, причём SK = 7. Найти длину отрезка АК, периметр и радиус вписанной окружности треугольника АВС.

sqrt - корень квадратный

[Квазимодо]

"Давненько мы не брали в руки шашек" (© Н.В.Гоголь), но попробую.
Пусть L - точка касания двух из этих окружностей со стороной SB, M - со стороной SC, тогда SK=SL=SM=7. Для сторон AB, AC, BC получаем следующие соотношения: AB=SA+SB-14 (если L1 - точка касания стороны AB и окружности, вписанной в SAB, то AL1=AK=SA-SK=SA-7, BL1=BL=SB-SL=SB-7, а AB=AL1+BL1), AC=SA+SC-14, BC=SB+SC-14. Радиус вписанной в треугольник окружности равен S/p (S - площадь, p - полупериметр), а S=sqrt(p*(p-a)*(p-B)*(p-c)) (a,b,c - стороны), т.е. r^2=S^2/p^2. Рассчитаем радиус окружности, вписанной в SBC: p=(SB+SC+SB+SC-14)/2=SB+SC-7, S^2=7*(SC-7)*(SB-7)*(SB+SC-7), p^2=(SB+SC-7)^2, т.е. r^2=7*(SC-7)*(SB-7)/(SB+SC-7)=6. Аналогично 7*(SA-7)*(SC-7)/(SA+SC-7)=11, 7*(SA-7)*(SB-7)/(SA+SB-7)=14.
Пусть x=SA-7, y=SB-7, z=SC-7, тогда 7yz/(y+z+7)=6, 7xz/(x+z+7)=11, 7xy/(x+y+7)=14. Преобразуем эти уравнения так:

7yz=6y+6z+42
49yz=42y+42z+294
49yz-42y-42z+36=330
(7z-6)(7y-6)=330 (1)

7xz=11x+11z+77
49xz=77x+77z+539
49xz-77x-77z+121=660
(7x-11)(7z-11)=660 (2)

7xy=14(x+y+7), xy=2(x+y+7)
xy-2x-2y+4=18
(x-2)(y-2)=18 (3)

Из (1) 7y-6=330/(7z-6), 7y=(42z+294)/(7z-6), y=(6z+42)/(7z-6), y-2=(-8z+54)/(7z-6)
Из (2) 7x-11=660/(7z-11), 7x=(77z+539)/(7z-11), x=(11z+77)/(7z-11), x-2=(-3z+99)/(7z-11)
Из (3) (-8z+54)(-3z+99)=18(7z-6)(7z-11), 24z^2-954z+5346=882z^2-2142z+1188, 858z^2-1188z-4158=0. Делим на 66: 13z^2-18z-63=0. Решаем это уравнение, получаем единственный положительный корень z=3 (второй <0), а затем (из (1) и (2)) y=4, x=11, т.е. SA=18, SB=11, SC=10. Отсюда AK=SA-SK=11, а из соотношений для AB, AC, BC, которые мы вывели раньше, получаем: AB=15, AC=14, BC=7. Периметр ABC равен 36, S(ABC)=sqrt(18*3*4*11)=sqrt(2376)=6*sqrt(66), а радиус вписанной окружности S/p=sqrt(66)/3.

[WindowsMan]

А кто нибудь здесь в паскале рубит?
Составить программу в паскале для перевода десятичной дроби в восьмеричную.

Program DesVosm;
var x,i,b,y:integer;
begin
readln(x);
y:=X;
FOR I:=10 DOWNTO 1 DO
BEGIN
B:=YMOD8;
Y:=YDIV8;
WRITE(B:1:I);
END;
END.

Как это привести к переводу дробей?

[Квазимодо]

Ну, наверное, действия в цикле будут другими:

B:=TRUNC(Y*8); {получаем следующую цифру, trunc - отбрасывание дробной части}
Y:=Y*8-B;

Только переменная Y будет вещественной, а сам цикл - to, а не downto, поскольку цифры дробной части появляются в прямой, а не в обратной последовательности.

[pan]

Эх, ленивые студенты-школьники Что же вы знать-то после учебы будете, а?

ЗЫ Да, чего я, собственно, хотел сказать: сессия капут, отдых форева