Версия для печати темы

Автор: kruftun Среда, 22 Февраля 2006, 19:47

В государственной Думе принимается законопроект о порядке раздачи слонов. Каждый из десяти присутствующих на заседании депутатов случайно нажимает на одну из 3 кнопок("за","против","воздержался"). Из-за важности вопроса голосование проводится поименно.

а)Сколько существует вариантов возможных голосований?
б)Сколько существует вариантов голосований при которых законопроект будет принят?

Надеюсь на помощь математиков.

Автор: Lazy Пятница, 24 Февраля 2006, 23:12

3 в степени 10, то бишь 59049.
Надеюсь, мои скромные познания в комбинаторике меня не подводят ))


а при каких условиях он будет принят?

Автор: yozh Суббота, 25 Февраля 2006, 4:11

Для принятия закона в первом чтении необходимо простое большинство голосов. Правда, потом его ещё должен подписать Президент

Автор: kruftun Суббота, 25 Февраля 2006, 8:21

Не ну под а) то я и сам решил давно, мне бы решение под б). Закон будет принят при простом борльшинстве голосов.
Под а) размещения с повт.-просто.

Автор: Lazy Суббота, 25 Февраля 2006, 11:47

Мдя, вот вероятность события б) я бы еще посчитала, но количество вариантов...

так мой вариант правильный? А то периодически просят меня решать такие задачи, вдруг попадется похожая

Автор: Ekho Суббота, 25 Февраля 2006, 18:07

а) А мне всегда казалось, что кол-во вариантов голосования = кол-во вариантов ответов ^ кол-во голосующих. А у нас тут дано, что лишь каждый 10й что-то там жмет.

б) надо подумать

Автор: Квазимодо Воскресенье, 26 Февраля 2006, 8:53

Ну, если задача еще актуальна, попробуем так.
Нужно подсчитать количество вариантов, когда "за" проголосовали 6 или более депутатов.
Если ровно 6: C(10;6) * 2^4 = 210*16 = 3360 вариантов (6 "за" среди 10 можно разместить числом способов, равным C(10;6) - числу сочетаний из 10 по 6, а остальные четверо могут проголосовать 2^4 способами - каждый либо "против", либо воздержался);
Если 7: C(10;7) * 2^3 = 120*8 = 960 вариантов;
8: C(10;8) * 2^2 = 45*4 = 180;
9: C(10;9) * 2^1 = 10*2 = 20;
10: C(10;10) * 2^0 = 1 (все 10 "за")
------------------------------------------
Итого: 3360+960+180+20+1 = 4521 вариант.

Если надо считать варианты, когда "за" проголосовало не больше половины, но "против" еще меньше (крайний случай - 1 "за" и 9 воздержавшихся), то получаем еще:
5 "за": C(10;5) * (C(5;0) + C(5;1) + C(5;2) + C(5;3) + C(5;4)) = 252*31 = 7812 вариантов (C(10;5) - это, как и раньше, голосовавшие "за", а "против" может быть 0, 1, 2, 3 или 4 депутата из остальных 5);
4 "за": C(10;4) * (C(6;0) + C(6;1) + C(6;2) + C(6;3)) = 210*42 = 8820;
3 "за": C(10;3) * (C(7;0) + C(7;1) + C(7;2)) = 120*29 = 3480;
2: C(10;2) * (C(8;0) + C(8;1)) = 45 * 9 = 405;
1: C(10;1) * C(9;0) = 10*1 = 10.
Тогда всего получается 4521+7812+8820+3480+405+10 = 25048 вариантов.

Автор: kruftun Среда, 01 Марта 2006, 14:34

Прикольное решение, я б не догадался Мне бы к пятнице пару задач по геометрии надо решить(*-для 10 класса). Сегодня или завтра выложу. Спасибо за решение.

Автор: kruftun Четверг, 02 Марта 2006, 13:44

Вот три задачи по геометрии(тема преобразования плоскости):

1)Докажите, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений его противоположных сторон.

2)На плоскости отмечены четыре точки принадлежащиеразличным сторонам квадрата.Восстановите квадрат.

3)На сторонах остроугольного треугольника АВС вне его построены равносторонние треугольники А1ВС, АВ1С и АВС1. Восстановите треугольник АВС, зная вершины А1, В1, С1 этих треугольников.

Р.S. Надо бы к завтрашнему дню, но буду очень признателен, если будет решение ко вторнику.

Автор: Квазимодо Понедельник, 06 Марта 2006, 10:55

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Как это все объяснить на пальцах, ничего не чертя... А, ладно, попробую.
1. S(ABCD) = S(ABC) + S(ADC) <= (1/2) * (AB*BC) + (1/2) * (AD*DC). Возьмем другую диагональ (BD), пусть O - ее середина. Проведем через O прямую, перпендикулярную к BD, и отобразим симметрично относительно нее точку A. Получим точку A1. Тогда (аналогично) S(ABCD) = S(A1BCD) (т.к. S(ABD)=S(A1BD)) <= (1/2) * (A1B*BC) + (1/2) * (A1D*DC) = (1/2) * (AD*BC) + (1/2) * (AB*DC).
2. Пусть ABCD - квадрат, точка O1 лежит на прямой AB, O2 - на BC, O3 - на CD, O4 - на DA, тогда, если отрезки O1O3 и O2O4 перпендикулярны, то их длины равны. Отсюда способ построения квадрата таков: выбираем две точки (предполагая, что они лежат на противоположных сторонах), чертим отрезок между ними, проводим другой отрезок с концом в третьей точке, перпендикулярный первому и такой же по длине. Тогда на прямой, проходящей через другой конец этого отрезка и четвертую точку, и будет лежать одна из сторон квадрата.
Способ действует, если O1O3 и O2O4 не перпендикулярны. Если перпендикулярны и равны по длине, тогда квадратов можно построить бесконечно много, если перпендикулярны и не равны - ни одного.
3. Квадрат длины отрезка B1C1 равен

B1C1^2 = AB1^2 + AC1^2 - 2*AB1*AC1*Cos(120 + (BAC)) = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*((-1/2)*Cos(BAC) - (Sqrt(3)/2)*Sin(BAC)) = AB^2 + AC^2 + AB*AC*Cos(BAC) + (2*Sqrt(3))*S(ABC) (т.к. площадь треугольника ABC равна S(ABC) = (1/2)*AB*AC*Sin(BAC)) = (3/2)*AB^2 + (3/2)*AC^2 - ((1/2)*AB^2 + (1/2)*AC^2 - 2*AB*AC*Cos(BAC)) + (2*Sqrt(3))*S(ABC) = (3/2)*AB^2 + (3/2)*AC^2 - (1/2)*BC^2 + (2*Sqrt(3))*S(ABC).

Аналогично A1B1^2 = (3/2)*AC^2 + (3/2)*BC^2 - (1/2)*AB^2 + (2*Sqrt(3))*S(ABC), A1C1^2 = (3/2)*AB^2 + (3/2)*BC^2 - (1/2)*AC^2 + (2*Sqrt(3))*S(ABC). Отсюда

A1B1^2 - A1C1^2 = (-2) * (AB^2 - AC^2), т.е. AB^2 - AC^2 = (-1/2)*(AB^2 - AC^2). Значит, исходный треугольник ABC строится по A1B1C1 так. Опускаем из С1 высоту на A1B1 (H1 - ее основание), отмечаем M1 - середину A1B1, а затем точку O1 - середину отрезка H1M1, тогда вершина C будет лежать на прямой, перпендикулярной A1B1 и проходящей через O1 (нетрудно доказать, что A1O1^2 - B1O1^2 = (1/2)*(A1C1^2 - B1C1^2) ). Аналогично определяем точки O2 на A1C1 и O3 на B1C1 и перпендикуляры через них к другим сторонам (они пересекутся в точке O - середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности треугольника A1B1C1). Далее строим два равносторонних треугольника A1P1R1 и A1P2R2, где P1 и P2 лежат на прямой OO2 и при этом R1 и C1 лежат в разных полуплоскостях относительно A1P1 (то же для R2). Тогда точка пересечения R1R2 и OO1 и будет вершиной C исходного треугольника (две другие получаются тем же путем).